В.В.Фалин. Духовная ипостась математической науки

Вопрос о духовной ипостаси математической науки возникает и рассматривается, по крайней мере, в трех различных аспектах. Во-первых, это православное образование и место в нем математики, во-вторых-современное состояние, проблемы и перспективы развития самой математической науки, являющейся основой естественно-научной картины мира, и в-третьих - философско-богословское осмысление роли и места математики в жизни человека.

Считая целью образования, прежде всего, раскрытие духовного потенциала человека, данного ему Творцом, мы неизбежно обнаружим несоответствие между этой целью и реальной практикой современной школы, как светской, так и религиозной.

Для духовного рождения, подлинного и свободного, должна быть подготовлена соответствующая почва. Это касается, в частности, мышления - оно должно обладать широтой и незашоренностью, не замыкаться на рационалистических стреотипах и потому должно быть способным к восприятию выходящих за рамки привычной логики духовных антиномий. Какая из наук преподаваемых в школе, в наибольшей степени формирует логическое мышление и интеллектуальные способности, сомнений не вызывает: это математика. И именно ее современное преподавание порождает вместо достойного плода - открытого Небесному Свету разума - различные искажения, впоследствии резко затрудняющие человеку сознательное обращение к Богу, уменьшающие полноту и глубину этого обращения. Бывает так, что сердцем человек уже чувствует Творца, однако не может возлюбить Его «всем разумением» (Матф. 12:30), поскольку разумение это мертвое, схоластическое, и оно противоречит Богу живому. Получается, что рассудок противостоит сердцу.

Такой эффект «умертвления» математикой мы обнаруживаем и продолжаем обнаруживать в современной школе. Его механизм достаточно прост. Сначала учитель предлагает ученику некоторые понятия, которых в личном опыте ученика нет, он к ним не пришел, его к ним не подвели внутренне, и поэтому они для него чужие. И он их пытается просто запомнить, как некую бессмысленную информацию, надеясь, что ему это принесет пользу. Затем учитель показывает способ, как с помощью этих понятий решать задачи, добиваясь от ученика механического воспроизведения. Таким образом, возникает математический шаблон - мертвое, лишенное смысла действие с мертвыми понятиями. Аналог такого обучения - дрессировка животных. И последствия его очевидны: обычный выпускник школы не в состоянии решить задачу, условия которой немного отличаются от стандартных. Он не способен мыслить свободно, его мышление как бы запрограммировано. В результате, он чаще всего математику ненавидит, она для него - свод ненужных, непонятных, искусственных правил. Мышление его мертво, схоластично.

Но бывают и другие контакты с математикой, более редкие. Так, ученик может долгое время думать над трудной задачей, почему-то оказавшейся для него важной, и в итоге он переживает внезапное озарение, открытие, во время которого искомое решение приходит сразу, целиком. Ученик воспринимает его как драгоценную находку, пережив, быть может, очень кратко, состояние вдохновения.

В идеале вся математика могла бы быть представлена как череда таких открытий, проверяемых и оформлямыых логикой. Тогда она перестает быть бессмысленным нагромождением различных факторов, правил, теорий.

Отметим две важные черты математического открытия. Во-первых, оно всегда дает целостное знание, порой довольно сложное. Так, в начале XX века индийский математик Рамануджан открывал удивительные формулы, подобные следующим [2]:

некоторые из которых впоследствии удавалось доказать совершенно нетривиальными способами. Во-вторых, источник этих знаний самому математику был неизвестен.

Те дети, которых обычно называют способными к математике, легко совершают такие открытия. Но при отсутствии духовной жизни успехи в учебе приводят к самоутверждению через свои способности, использованию их во зло другим людям, обществу, возникновению "интеллектуальной" страсти и др.

Таким образом, реальная ситуация математического образования порождает два типа принципиальных искажений: у тех, кто не способен -непонимание, отвращение к математике, у способных - самоутверждение, приспособление за счет своих способностей. Следует отметить, что и те, и другие, как правило, убеждены во всесилии математической науки, при этом не познав ее сущность: первые - потому что не могут в ней разобраться сами, вторые - из-за отсутствия интереса к тому, что стоит за математическими открытием, является его источником.

Вопрос об источнике, причине научных открытий и , соответственно, о глубинной сущности науки, неизбежно возникает в результате знакомства с современным состоянием математики. Двадцатый век произвел в ней подлинный переворот, который, однако, не получил абсолютно никакого отражения в школьном образовании. Этот переворот поставил под сомнение всесилие и надежность логики - основного инструмента любых доказательств.

Так, в начале века Георг Кантор, создавая теорию множеств, которая должна была стать логически строгим фундаментом математики, обнаружил ряд парадоксов, связанных с бесконечными множествами. Оказалось, например, что нельзя рассматривать множество всех множеств, так как это понятие противоречиво, хотя оно вполне согласуется с интуицией и здравым смыслом. Были обнаружены и другие парадоксы.

Математики занялись поиском аксиом, которые позволили бы устранить противоречия. Его результаты оказались довольно неожиданными.

Во-первых, оказалось, что ставшая наиболее общепринятой система аксиом Цермело-Френкеля допускает различные расширения за счет введения дополнительных аксиом (таких, например, как гипотеза континуума и аксиома выбора, либо противоположные им утверждения) [3] ,[4]. При этом получаются совершенно разные варианты математики, и непонятно, какому из них нужно отдавать предпочтение. Во-вторых, в любой системе аксиом, включающих в себя арифметику целых чисел, всегда есть утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. С другой стороны, если этот набор аксиом непротиворечив, то есть не приводит к парадоксам (как в теории множеств Кантора), то доказать его непротиворечивость логически невозможно. Эти факты являются следствием знаменитых первой и второй теорем Геделя [1], [3]. Ими устанавливаются принципиальные ограничения возможностей логического доказательства, а значит, и вообще рационалистического способа познания. Истинное может быть недоказуемым, следовательно, ответ на вопрос, какова природа истины, лежит за пределами математической науки. В-третьих, было доказано, что никакая система аксиом не задает однозначно то, что она призвана описывать, допуская различные модели, то есть не является категоричной (теорема Левенгейма - Смолема) [3].

Это лишь некоторые из удивительных результатов, полученных в XX веке. Поскольку единое мнение по всем этим вопросам у математиков отсутствует, то сегодня существуют одновременно четыре различных математических направления. Они различаются по отношению к этим проблемам, причем позиции представителей разных направлений противоречат друг другу в вопросе о том, что считать достаточно строгим доказательством, какие аксиомы применять, а какие нет и др. Данные направления - логицизм, формализм, теоритико-множественный подход, интуиционизм. По сути дела, речь, идет о том, что существуют четыре различных варианта математики[3].

Можно подумать, что причиной такого положения является преувеличение роли и возможностей логики. На самом же деле математикам интуитивно ясно, что такое, например, действительное число вне зависимости от того, как оно определяется логически -как десятичная дробь, элемент множества с определенными свойствами или сечение Дедекинда во множестве рациональных чисел. Определение нельзя дать произвольно, хотя его вариантов может быть очень много, и все они будут соответствовать одному и тому же понятию. Следовательно, сущность математики не сводится к определенной форме. Новые знания появляются сначала в результате догадки, открытия, и лишь затем они получают математическую форму, проецируются на плоскость логики. При этом разные проекции могут противоречить друг другу, в то время как исходный объект противоречий не содержит.

Но и интуиция не является надежным инструментом познания. История математики знает немало примеров, когда интуитивно очевидное оказывалось ложным. Поэтому интуитивные догадки и нуждаются в проверке логикой, т. е. в доказательстве.

Таким образом, и логика, и интуиция оказываются бессильными перед таинственной сущностью математики, благодаря которой математика существует и эффективно применяется, несмотря на все трудности. Взгляд на эту проблему с богословской точки зрения позволяет наметить некоторый путь ее решения.

В отличие от остальных естественных наук, математика оперирует с объектами, существующими лишь в сознании человека. В природе не существует ни точек, не имеющих размера, ни абсолютно прямых

бесконечных линий - все это есть только в мышлении человека в идеальной форме. Применять математические модели к реальности модно лишь приблизительно. Математические закономерности являются абсолютно точными соотношениями между идеальными объектами мышления. При этом есть все основания считать, что закономерности эти не придумываются человеком, а открываются, затем проверяются и оформляются логически. Однако, ни логика, ни интуиция не являются абсолютно надежными критериями их истинности. Логика и интуиция как бы скользят по поверхности, не проникая вглубь, открывая лишь внешнюю сторону.

Здесь уместно сравнение с двумерным существом, живущим на плоскости, и сталкивающимся с трехмерным объектом - цилиндром, например, или шаром. Для этого существа цилиндр и шар как трехмерные фигуры не существуют, потому что оно не имеет третьего измерения, видит лишь плоские проекции цилиндра и шара и не способно постичь их объемность. По-видимому, человеку, не имеющему в своей жизни духовного измерения, также не дано постичь полноту и целостность того, что в его привычной системе понятий называется математикой. Без сомнения, должна существовать некая основа, таинственно объединяющая различные математические теории в единое целое - живую математическую науку, не взирая на имеющиеся логические проблемы. Эта основа - духовная ипостась математики, то внутреннее содержание, которое логика и интуиция представляют внешне. Мы можем быть уверены в ее существовании, так как иначе невозможно было бы объяснить многовековой позитивный опыт применения математики, несмотря на открывшееся в XX веке ее логическое несовершенство, о котором выдающийся математик Бертран Рассел на закате жизни в 1959 году сказал следующее :

"Восхитительная определенность, которую я всегда надеялся найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов... Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно".[3]

Истина лежит вне логических доказательств, скорее ее объективное бытие делает возможным установление истинности тех или иных математических выводов. Полнота истины исходит от Творца всего сущего и математики в том числе. Отсутствие живого устремления к Богу лишает человека данной ему полноты познания истины. Он блуждает в лабиринтах рассудочности, все меньше понимая смысл этих блужданий. Если в сердце человека нет Божественной любви, то в его уме меркнет и один из ее отблесков -строгая красота математического знания. И тогда возникает ситуация, о которой Артур Стэнли-Эддингтон сказал : «Доказательство - это идол, во имя которого математики терзают себя».

Поклонение идолу - доказательству - может привести к жизненной катастрофе. Ее не избежал Георг Кантор, не сумевший перенести крушение своего детища - теории бесконечных множеств, и умерший в 1918 году в психиатрической клинике в состоянии душевной депрессии. Многих других математиков постигло разочарование в собственных идеалах. Вот высказывание некоторых наиболее известных из них:

Г. Г. Харди:

"Строго говоря, того, что принято называть математическим доказательством, не существует... В конечном счете мы можем лишь указывать... Любое доказательство представляет собой то, что мы с Литтлвудом называем газом, - риторические завитушки, предназначенные для психологического воздействия, картинки, рисуемые на доске во время лекции, средство для стимуляции воображения учащихся".

Р. Л. Уайдлер:

"Совершенно ясно, что мы не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий, будь то отдельное лицо или школа мышления".

А. Н. Уайтхед:

"Резюмируя, можно сказать, что логика, понимаемая как адекватный анализ процесса человеческого мышления, есть не более, чем обман. Логика - превосходный инструмент, но ей необходим в качестве основы здравый смысл... По моему убеждению, окончательный вид, принимаемый философской мыслью, не может опираться на точные утверждения, составляющие основу специальных наук. Точность иллюзорна."[3]

Сегодня математический мир старается как бы не замечать произошедшего в XX веке, делая вид, что ничего не случилось. По-видимому, признание того факта, что самая точная из наук, претендовавшая на право обладания абсолютным критерием истины, на самом деле может держаться только на вере в Творца, для многих является слишком радикальным.

Но, похоже, других альтернатив уже нет.

Завершая рассмотрение духовной ипостаси математической науки, можно отметить, что в результате возникает множество вопросов. И главным среди них является следующий: имеют ли математика и математическое образование эсхатологическое значение и каково оно? Продвигаясь к ответу на этот вопрос мы, возможно, сможем более определенно говорить о месте математики в православном образовании и в жизни православного человека вообще.

 

Список литературы

1. Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Теория доказательств.: Пер. С нем./ Под ред. С. И. Адяна. - М: Наука, 1982.

2. Гиндикин С. Г. Загадка Рамануджана. // Квант. 1996. № 10. С. 14-41.

3. Клайн М., Математика. Утрата определенности.: Пер. С англ. / Под ред., с предисл. И примеч. И. М. Яглома. - М.: Мир, 1984.

4. Френкель А., Бар- Хиллел А., Основания теории множеств.: Пер. С англ. / Под ред. А. С. Есенина-Вольпина. - М: Мир, 1966.